Complexe Getallen
Home De basis Fractals Derdegraads-
vergelijkingen

Derdegraadsvergelijkingen

En van onze redenen om het onderwerp complexe getallen te kiezen, is dat deze getallen het mogelijk maken om tweedegraadsvergelijkingen met een negatieve discriminant op te lossen. Het leek ons leuk om nog een stapje verder te gaan en ook de mogelijkheden voor het oplossen van derdegraadsvegelijkingen te bekijken.

   

Inhoudsopgave

1 Tweede- en derdegraadsvergelijkingen

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen

Het is bekend dat tweedegraadsvergelijkingen met een negatieve discriminant geen reële oplossingen hebben. We gaan bekijken of de uitbreiding van de getalverzameling met de complexe getallen ons wel de mogelijkheid geeft tweedegraadsvergelijkingen met een negatieve discriminant op te lossen.
We nemen de tweedegraadsvergelijking ax2 + bx + c = 0, gaan de abc-formule afleiden en gaan bekijken wat er gebeurt als we een negatieve discriminant invullen. De volgende stappen worden ondernomen:
1. a buiten haakjes halen

a(x2 + b ax + c a) = 0

2. Delen door a

x2 + b ax + c a = 0

3. De eerste twee termen samenvoegen (het kwadraat afsplitsen)

x2 + b ax + c a = (x + b 2a)2 b2 4a2 + c a = 0

Dit klopt, want

(x + b 2a)2 b2 4a2 + c a = x2 + b 2a x + b 2a x + b2 4a2 b2 4a2 + c a = x2 + 2 b 2a x + b2 4a2 b2 4a2 + c a = x2 + 2b 2a x + c a = x2 + b ax + c a

Onze vergelijking krijgt nu de vorm

(x + b 2a)2 b2 4a2 + c a = 0 (x + b 2a)2 = b2 4a2 c a (x + b 2a)2 = b2 4a2 c a 4a 4a (x + b 2a)2 = b2 4a2 4ac 4a2 (x + b 2a)2 = b2 4ac 4a2 (x + b 2a)2 = D 4a2

Wanneer D 0 krijgen we de bekende vergelijking

x + b 2a = ±D 2a x + b 2a = ±b2 4ac 2a x = b ±b2 4ac 2a

Voor D < 0 krijgen we

x + b 2a = ±D 2a x + b 2a = ±D i2 2a x + b 2a = ±iD 2a x = b ± iD 2a x = b ± ib2 4ac 2a

Met deze formule kunnen we oplossingen geven tweedegraadsvergelijkingen met een negatieve discriminant!

1.2 Derdegraadsvergelijkingen

Eén van de redenen om als onderwerp voor onze PWS complexe getallen te kiezen, was dat het met complexe getallen mogelijk is derdegraadsvergelijkingen op te lossen. Het onderzoek wordt voortgezet, op zoek naar een formule om derdegraadsvergelijkingen op te lossen.
We beginnen met vergelijkingen van de vorm x3 + px = q. Deze gaan we als volgt oplossen.
1.Stel x = u + v en p = 3uv, dit geeft

(u + v)3 3uv(u + v) = q u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 3u2v 3uv2 = q u3 + v3 = q

We weten dat p = 3uv, hieruit volgt v = p 3u. Wanneer we dit substitueren in de gevonden vergelijking, geeft dat

u3 p3 27u3 = q u6 p3 27 = qu3 u6 qu3 p3 27 = 0

Een schaduwvergelijking met h = u3 geeft

h2 qh p3 27 = 0

Voer voor de abc-formule. Eén van de oplossingen is

h = q + q2 + 4p3 27 2

Dit gaan we uitdelen

h = 1 2q + q2 + 4p3 27 4 h = 1 2q + q2 4 + 4p3 108 h = 1 2q + q2 4 + p3 27

We zagen net dat u3 + v3 = q, dit is omgeschreven

v3 = q u3

Substitueren van

h = u3 = 1 2q + q2 4 + p3 27

geeft

v3 = q 1 2q q2 4 + p3 27 = 1 2q q2 4 + p3 27

Nu dit bekend is, kunnen we een waarde van x berekenen.

x = u + v = 1 2q + q2 4 + p3 273 + 1 2q q2 4 + p3 273

Deze formule staat bekend als de formule van Cardano. Toch heeft, zoals wel vaker het geval is geweest, iemand anders de formule bedacht. Scipione del Ferro is degene die de formule het eerst heeft afgeleid voor positieve waarden van p en q.

Goed, we gaan ons nu verder richten op het uiteindelijke doel: vergelijkingen van de vorm y = x3 + ax2 + bx + c oplossen. We beginnen met de derdegraadsvergelijking

x3 + ax2 + bx + c = 0

Wanneer we nu een translatie (x a 3 ;0) toepassen, verdwijnt de kwadratische term.

y = (x a 3)3 + a(x a 3)2 + b(x a 3) + c = (x2 2a 3 x + a2 9 )(x a 3) + (a(x2 2a 3 x + a2 9 )) + b(x a 3) + c = x3 2a 3 x2 + a2 9 x a 3x2 + 2a2 9 x a3 27 + ax2 2a2x 3 + a3 9 + bx ab 3 + c = x3 2a 3 x2 a 3x2 + ax2 + a2 9 x + 3a2 9 x 2a2 3 x + bx ab 3 a3 27 + a3 9 + c = x3 3ax3 3 + ax2 + a2 3 x 2a2 3 x + bx ab 3 + 2 27a3 + c = x3 a2 3 x + bx ab 3 + 2 27a3 + c = x3 + ( 1 3 a2 + b)x + ( 2 27a3 1 3ab + c)

Deze vorm is bekend! Cardano, here we come! Er dient hierbij uiteraard wel rekening te worden gehouden met de eerder toegepaste translatie. We moeten de grafiek dus corrigeren voor de voorsprong van 1 3a die we hem net gegeven hebben.

x = 1 3a + 1 2q + q2 4 + p3 273 + 1 2q q2 4 + p3 273

Hierbij geldt natuurlijk p = b 1 3a2 en q = 2 27a3 + 1 3ab c. Om de formule helemaal monsterlijk te maken, kunnen we tot slot deze p en q waarden invullen.

x = 1 3a + 1 2( 2 27 a3 + 1 3ab c) + ( 2 27a3 + 1 3ab c)2 4 + (b 1 3a2)3 27 3 + 1 2(2 27a3 + 1 3ab c) ( 2 27a3 + 1 3ab c)2 4 + (b 1 3a2)3 27 3

Wat hebben wij nu zo anders gedaan dan Scipione del Ferro en vele anderen? In principe niet heel veel. We hebben dezelfde formule gevonden. Toch is er één wezenlijk verschil: wij kunnen de formule ook gebruiken voor negatieve waarden van q en p, dankzij de complexe getallen!

Huub Brouwer Martin van Meerkerk