Complexe Getallen
Home De basis Fractals Derdegraads-
vergelijkingen

Fractals

Eťn van de leukste, mooiste en meest interessante toepassingsgebieden van complexe getallen is volgens ons fractals. In dit onderdeel wordt allereerst een basis gecreŽerd die nodig is voor een goed begrip van fractals, daarna komen Julia fractals, de Mandelbrot fractal en toepassingen van fractals aan de orde.

   

Inhoudsopgave

1 Fractals

In 1991 kwam de Mandelbrot Fractal in het Guinness Book Of Records als ’het meest ingewikkelde wiskundige object’. Dit zal vast niet voor niets zijn geweest, toch hebben we besloten op onderzoek uit te gaan. We gaan bekijken wat fractals precies zijn, hoe ze wiskundig omschreven kunnen worden en bovenal: waarvoor ze gebruikt worden.

1.1 Algemeen

In deze paragraaf wordt onderzocht wat fractals precies zijn. Eerst bekijken we een definitie in woorden en vervolgens gaan we bekijken hoe we fractals wiskundig kunnen definiëren.
Een definitie van fractals is:


Meetkundige figuren met als karakteristieke eigenschap dat onderdelen van de figuur (ongeveer) dezelfde vorm hebben als de figuur zelf, maar dan op een kleinere schaal.


Eén van de bekendste fractals is de Mandelbrot fractal. Deze is te zien in de figuur hiernaast. Wanneer de antenne van de Mandelbrot Fractal goed bekeken wordt, is te zien dat er op die antenne nog een Mandelbrot Fractal zit. Bij verder inzoomen zijn er nog veel meer te ontdekken, niet alleen maar op de antenne, maar ook in het lichtgevende gebied rond de centrale Mandelbrot Fractal. Dit klopt aardig met de definitie die we hierboven gaven: er is steeds ongeveer dezelfde figuur te zien, maar wel op kleinere schaal.

y = x2 is de parabool waarmee de zoektocht naar complexe getallen gaat beginnen. Dat lijkt misschien niet zo spectaculair, maar het tegenovergestelde is waar! Eerst nemen we kennis van een nieuw begrip: itereren. Dit begrip wordt als volgt gedefiniëerd:

Itereren: een bewerking uitvoeren op een getal en dan de uitvoer opnieuw als invoer gebruiken.

Wanneer we dit in de gegeven formule met het getal 4 doen, krijgen we: 16,256,65536,
4294967296 en zo door tot in het oneindige. Voor getallen die tussen de 1 en de 1 liggen geldt echter dat de uitkomst steeds kleiner wordt. Deze komt steeds dichter bij het getal nul, hoewel hij nooit 0 zal worden. Eigenlijk is itereren dus nits anders dan x = y stellen. Bij de gegeven parabool is het getal 0 de aantrekker.

1.2 Aantrekkers en constanten

Als aan de vergelijking een constante wordt toegevoegd, krijgen we de vorm: y = x2 + c. Wanneer we nu de aantrekker willen vinden, zullen we gebruik moeten maken van het snijpunt van deze grafiek met de vergelijking x = y. We geven een voorbeeld met c = 0,5.

x = x2 0,5 0 = x2 x 0,5 D = (1)2 4 1 0,5 = 3 x = 1 ±3 2 x = 0,336 ν x = 1,366

Uit deze oplossingen kunnen we concluderen dat de aantrekker (zie figuur 2) zich in x = 0,366 bevindt en dat alle waarden tussen de 1,366 en 1,366, vanwege symmetrie, door deze aantrekker worden aangetrokken.

 


Nu bekijken we de formule met c = 1. In het geval dat we gaan itereren met als startwaarde 0, zien we dat de grafiek (zie figuur 3) niet door één waarde wordt aangetrokken, maar door twee! Dit noemen we een dubbele aantrekker.

1.3 Feigenbaum

Wanneer een groot aantal c-waarden zou worden uitgeprobeerd, kunnen de volgende conclusies worden getrokken:

  • Voor 2 < c of c > 0,25, is er geen aantrekker. Elke startwaarde itereert naar oneindig.
  • Voor 0,75 < c < 0,25 is er een enkelvoudige aantrekker.
  • Voor 1,25 < c < 0,75 is er een dubbele aantrekker.
  • Voor nog iets lagere waarden van c ontstaat een viervoudige en later een achtvoudige aantrekker.
  • Voor nog negatievere waarden van c ontstaat er iets bijzonders: chaos. Dit houdt in dat er wel startwaarden worden aangetrokken, maar dat de aantrekker niet aanwijsbaar is. Zo’n aantrekker noemen we een vreemde aantrekker. Het chaotische gedrag dat weergegeven is in figuur 4, is de aanleiding geweest voor het ontstaan van een nieuwe wetenschap: de chaostheorie.
  • Voor sommige c-waarden in het chaosgebied zijn toch nog normale aantrekkers te vinden.

Er is een wiskundige die in het midden van de jaren ’70 onderzoek heeft gedaan op het gebied van aantrekkers en chaos: Michell Feigenbaum. Hij heeft een figuur gemaakt waarin de bovenstaande punten verwerkt zitten, de vertakkingsboom van Feigenbaum. We hebben de figuur hieronder weergegeven met een korte toelichting.

We zien in de figuur hiernaast een rode lijn met een aantal groene punten erop. Deze lijn vertakt in het derde en vierde kwadrant in twee en later vier takken, het verdubbelingsgebied. De takken monden uit op een groen geheel dat af en toe onderbroken wordt door groene punten, het chaosgebied. Wanneer we ons voorstellen dat er door de y-as een horizontale lijn loopt die de c-waarde voorstelt, zien we dat het aantal aantrekkers bepaald wordt door het aantal snijpunten met de lijnen. Ook is te zien dat er in de chaos af en toe sprake is van normale aantrekkers; het groen wordt dan even onderbroken door een aantal groene punten.

 

 

1.4 Julia Fractals

De paraboolfunctie y = x2 + c wordt weer geïtereerd, toch veranderen we één detail in de aanpak. Startwaarden mogen nu ook complex zijn. Daarom krijgt de functie de vorm y = z2 + c. Dit houdt dus in dat aantrekkingsgebieden nu gedeeltes van het complexe vlak kunnen zijn. Dezelfde structuur als in paragraaf 3.3 wordt gehanteerd.

Allereerst kiezen we dus voor een constante van 0. Het resultaat is niet erg verrassend: alle getallen met een modulus van minder dan 1 worden aangetrokken door de oorsprong.

 

 


Wanneer we kiezen voor c = 0,5, krijgen we een grillige figuur met een rafelige rand. Dit lijkt helemaal niet op de figuur die we zouden krijgen wanneer we alleen gebruik zouden maken van reële startwaarden!

 

 

 

 


Als we inzoomen op de gevonden figuur blijft het rafelige patroon aan de buitenrand zich herhalen. Dit is zeer goed te zien op de figuur hiernaast, waarbij sterk op de rand is ingezoomd.

 

 

 

 

 


Nu kiezen we c = 1. Dit levert een veel spectaculairder figuur op. We hebben een dubbele aantrekker gevonden! Alle figuren die op deze bladzijde staan, zijn Julia fractals. Dit zijn fractals die bepaald woorden door twee parameters. In ons geval respectievelijk: Re(0), Im(0); Re(0,5), Im(0) en Re(1); Im(0).

 

 

Tot nu toe hebben we alleen maar bekeken wat voor fractals we konden maken met reële waarden van c. Wanneer c gaat bestaan uit een reëel een een imaginair deel, zou het best kunnen dat we een nog veel grilliger figuur krijgen, met complexe aantrekkers. We kiezen voor dit voorbeeld de waarden Re(c) = 0,330 en Im(c) = 0,418.

 

 

 

 

 

 

Het wordt pas helemaal leuk wanneer we de fractals ingekleurd gaan weergeven. We zien nu geen reële en imaginaire as meer, maar we hele mooie plaatjes van de fractal uit figuur 9. We hebben deze plaatjes gemaakt met het programma Fractint.

1.5 Julia en Mandelbrot

We zouden zo nog tien bladzijden kunnen vullen met prachtige plaatjes van fractals, maar we zijn nog niet aangekomen bij het uiteindelijke doel van onze zoektocht: de Mandelbrot fractal. Mandelbrot was een leerling van Gaston Julia, de man die in het begin van de 20e eeuw onderzoek deed naar fractals en de Julia fractal bedacht.

Tijdens het experimenteren met de Julia fractal stuitten wij op een probleem: er zijn een heleboel c-waarden waarvoor geen aantrekker is. Bij reële c-waarden hebben we daar wat op gevonden. Als de c-waarden tussen 2 en 0,25 liggen, leveren deze altijd één of meerdere aantrekkers op. Het zou best mooi zijn als er voor complexe c-waarden ook zo’n overzicht bestond. Dat vond Mandelbrot ook. Hij maakte een overzicht, een fractal, van alle complexe c-waarden die één of meerdere aantrekkers opleveren bij het maken van een Julia fractal. Dit overzicht ziet er waarschijnlijk heel bekend uit.

Eindelijk hebben we hem gevonden: de Mandelbrotfractal! Best leuk zo’n Mandelbrot fractal, maar wat gebeurt er nu eigenlijk als je de computer vraagt hem op te stellen? De computer gaat uit van de formule y = x2 + c. De bedoeling is nu dat de computer gaat berekenen voor welke c-waarden de grafiek bij itereren met als startwaarde 0 naar het oneindige of juist naar een aantrekker gaat. Daarbij wordt afgesproken dat een punt zwart wordt gemaakt wanneer dit niet tot oneindig leidt. De computer gaat nu een groot aantal c-waarden checken en benadert dan de Mandelbrot fractal. Misschien lijkt het vreemd dat de computer de fractal niet exact kan berekenen, maar daar is een heel logische verklaring voor. Wanneer een bepaalde c-waarde helemaal aan de rand van de fractal ligt, moet de computer hem een oneindig aantal keren itereren om te kunnen controleren of hij naar oneindig gaat. Van de Mandelbrot fractal zijn, zoals te zien is, heel mooie plaatjes te maken.

 

1.6 Mandelbrot

Er is natuurlijk nog veel meer te zeggen over de Mandelbrot fractals. Wat we in ieder geval kwijt willen is dat deze fractal in werkelijkheid nog complexer is dan wij hem hier hebben voorgesteld.

Hiervan willen we twee voorbeelden noemen. Ten eerste kan wiskundig aangetoond worden dat de Mandelbrot fractals die in de Mandelbrot fractal zitten allemaal met elkaar verbonden zijn. Verder hebben we al laten zien dat de Mandelbrot fractal zichzelf steeds blijft herhalen, maar de mate waarin is nog niet verteld. Hiernaast staat een plaatje waarin een Mandelbrot fractal is weergegeven waarop een biljoen keer is ingezoomd. Nog steeds zien we dezelfde figuur!

 

 

1.7 Toepassingen van fractals

Dat fractals hele mooie plaatjes op kunnen leveren en ook nog eens heel ingewikkeld zijn, is nu bekend. Toch zijn fractals nog meer dan dat. Fractals lijken in de praktijk op allerlei vakgebieden van pas te komen. De volgende deelonderwerpen komen aan de orde:

  • Fractale beeldcompressie
  • Fractals en muziek

1.7.1 Fractale beeldcompressie

Met fractals kunnen digitale beelden tot 1 35 van de originele bestandsgrootte gecomprimeerd worden! Een korte uiteenzetting over de toegepaste technieken en de voordelen van deze vorm van compressie volgt.

Fractals werden 25 jaar geleden al gebruikt voor het maken van zeer realistische beelden op de computer. Deze beelden hadden zo’n kleine bestandsgrootte dat mensen zich begonnen af te vragen of het proces ook niet andersom toegepast kon worden. Michael Barnsley heeft in de jaren ’80 een methode ontwikkeld om digitale beelden te comprimeren met behulp van fractals. Deze methode komt op het volgende neer. In een beeld wordt gezocht naar groepen pixels die min of meer op andere groepen pixels lijken. Tijdens het comprimeren wordt dan vastgelegd hoe de ene groep pixels uit de andere groep ontstaat. Dit leidt tot aanzienlijke verkleining van de bestandsgrootte, doordat niet elke pixel nu afzonderlijk hoeft te worden beschreven, maar het beeld is opgesplitst in fractals die uit elkaar voortvloeien.
Het gebruiken van fractals voor het comprimeren van digitale afbeeldingen heeft nog een voordeel. Wanneer er op een foto een bepaalde soort rode tulp is afgebeeld en we willen weten wat voor soort tulp dat is, hoeven we nu niet meer te googelen op ’rode tulp’ en eindeloos te zoeken. Doordat de afbeelding bestaat uit kenmerkende eigenschapen, zoals de kleursamenstelling en de vorm van het object, volstaat het om de zoekmachine te vragen een soortgelijk plaatje op het internet te generenen, waarbij we tegelijkertijd kunnen uitvogelen voor soort tulp het was.

1.7.2 Fractals en muziek

Het klinkt misschien vreemd, maar eigenlijk is het best logisch. In muziek komen allerlei wiskundige patronen voor. Nu zijn er mensen die dit principe omdraaien en met behulp van wiskunde muziek gaan componeren. Toen we aan het surfen waren op internet vonden we een aantal websites over fractalmuziek. Hoe deze muziek precies gemaakt wordt laten we aan de componisten over, het is echter wel heel erg leuk om te luisteren naar de muzikale weergave van de mandelbrotfractal... Hieronder volgen een aantal links naar websites met fractalmuziek:

  • http://www.texaschapbookpress.com/magellanslog48/Kubota/kubotamidi.htm
  • http://www.stuif.com/cgi-bin/fractal.cgi
  • http://www.fractal-vibes.com/fvc/Frame01.php3
Huub Brouwer Martin van Meerkerk